METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK REGRESI LINIER

METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK REGRESI LINIER

Metode kuadrat terkecil untuk regresi linier digunakan untuk menentukan dugaan bentuk regresi apakah linier atau tidak dimana terdapat perbedaan dugaan. Artinya, tiap orang akan memberikan perkiraan yang berbeda tergantung pada pertimbangan pribadi masing-masing terhadap suatu permasalahan. Cara ini berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah kuadrat dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin.

Regresi dengan X merupakan variabel bebasnya dan Y variabel tak bebasnya, dinamakan regresi Y atas X. Untuk gambaran umum yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y dimana model regresi linier untuk populasi sudah dapat diduga, maka kita perlu menaksir parameter-parameter regresi.

Untuk model regresi populasi

Akan ditaksir harga-harga  dan  oleh a dan b sehingga didapat persamaan regresi.

dengan :     a = kelandaian (slope) kurva garis lurus

b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’

                         atau sumbu tegak

Untuk keperluan tersebut, data hasil pengamatan harus disusun seperti pada tabel berikut:

Variabel Tak Bebas (Yi)	Variabel Bebas (Xi)

Disini terdapat pasangan terurut X dan Y sebanyak n buah, dengan n menyatakan banyak data. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil ternyata koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat ditentukan dengan rumus :

Jika koefisien ditentukan terlebih dahulu koefisien a dapat ditentukan dengan rumus :

Dengan dan  adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.

Rumus-rumus di atas dipakai untuk menentukan koefisien – koefisien regresi Y atas X, untuk koefisien regresi X atas Y rumus yang sama dapat digunakan dengan terlebih dahulu mempertukarkan tempat untuk simbol-simbol X dan Y.

Variabel tak bebas Y dalam regresi telah dinyatakan oleh simbol Yˆ (baca: ye topi) untuk menyatakan bahwa kita berhadapan dengan Y yang didapat dari regresi dan untuk membedakannya dengan Y dari hasil pengamatan.

Koefisien b dinamakan koefisien arah regresi linier dan menyatakan perubahan rata-rata variabel Y untuk setiap perubahan variabel X sebesar satu unit. Perubahan ini merupakan pertambahan apabila b bertanda positif dan penurunan atau pengurangan apabila bertanda negatif. Regresi yang didapat, selanjutnya digunakan untuk keperluan prediksi atau analisis apabila harga variabel bebas diketahui. Jika harga X yang dimasukkan dalam persamaan regresi terletak di dalam daerah ruang gerak X hasil pengamatan, proses itu dinamakan interpolasi. Memasukkan harga X di luar batas daerah ruang gerak pengamatan merupakan ekstrapolasi.

          Ada kalanya dua variabel dapat dinyatakan sebagai regresi Y atas X dan regresi X atas Y, tergantung dari dugaan terhadap variabel. Untuk  regresi Y atas X, kita dapat meramalkan Y kalau X diketahui, begitu juga sebaliknya. Yang perlu diingat adalah masalah mempertukarkan posisi X dan Y. Sebagai contoh, hubungan berat badan dan tinggi badan siswa.

Contoh 1

Tabel berikut menunjukkan daya regang (Y) dan kekerasan alumunium(X) yang dinyatakan dalam satuan tertentu.

X	71	53	82	67	56	70	64	78	55	70	53	84
Y	354	313	322	334	247	377	308	340	301	349	293	368

Setelah data tersebut dibuat diagram perncarnya ternyata mendekati garis lurus, tentukan regrsi linier Y atas X.

Jawab:

Untuk keperluan tersebut terlebih dahulu akan dikitung besaran-besaran yang diperlukan, seperti ditunjukkan oleh table berikut:

Xi	Yi	XiYi
71	354	25134	5041
53	313	16589	2809
82	322	26404	6724
67	334	22378	4489
56	247	13832	3136
70	377	26390	4900
64	308	19712	4096
78	340	26520	6084
55	301	16555	3025
70	349	24430	4900
53	293	15529	2809
84	368	30912	7056

Dari tabel di atas diperoleh nilai:

     =803

      =3906

=264385

   =55069

   =1285802

Dengan metode kuadrat terkecil diperoleh nilai-nilai berikut:

Dengan demikian persamaan regresi linir Y atas X untuk masalah di atas adalah :

Yˆ= 174,69 + 2,25X

Tanda  Yˆ menyatakan bahwa kita berhadapan dengan Y yang diperoleh dari regresi untuk membedakannya dengan Y dari hasil pengamatan. Karena koefisien b = 2,25 (bertanda positif) sehingga dapat dikatakan bahwa jika X (= kekuatan alumunium) bertambah satu satuan, maka rata-rata daya regang (Y) bertambah 2,25 satuan. Yˆ

Regresi yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk keperluan peramalan, apabila nilai variabel bebas diketahui. Misalnya jika X = 80, maka dengan memasukan nilai tersebut kepada persamaan regresi di atas diperoleh nilai:

Yˆ=  174,69 + 2,25(80) = 354,69

Diperkirakan rata – rata daya regang alumunium akan samadengan 354,69 jika kekuatan alumunium 80.

Contoh 2:

Diketahui peubah nilai skor tes masuk (X) dengan nilai ekonomi (Y) sebagai berikut :

No.	Skor Tes (X)	Nilai Ekonomi (Y)
1	65	65
2	50	74
3	55	76
4	65	90
5	55	85
6	70	87
7	65	94
8	70	98
9	55	81
10	70	91
11	50	76
12	55	74

Berdasarkan data di atas tentukan hubungan matematis antara skor tes masuk dengan nilai ekonomi.

Jawaban :

Sehingga persamaan regresinya ialah :

Y = 30,056 + 0,897 X